Matematika: Zaujímavé úlohy

1.)

Ráno o piatej mal Laco odcestovať. Večer si nepripravil veci, takže ráno si šiel po topánky i po ponožky do izby, v ktorej spala sestra. Nechcel ju zobudiť, preto nerozsvietil. Mal tam však tri páry topánok rôzneho tvaru a dvanásť párov ponožiek šedých a hnedých. Topánky ani ponožky neboli uložené po pároch, ale boli rozhádzané. Aký najmenší počet topánok a ponožiek musel vybrať, aby medzi nimi bol určite pár topánok toho istého tvaru a pár ponožiek tej istej farby?

2.)

Američania posielajú na Vianoce svojím známym pohľadnice s typickým vianočným pozdravom: MERRY XMAS TO ALL. Slovo XMAS znamená Christmas, preklad teda znie: Veselé Vianoce všetkým! V tomto pozdrave máme nahradiť písmená číslami, ale tak, aby každé slovo vyjadrovalo druhú mocninu celého čísla.

3.)

Pastier pásol ovce. Pocestný, ktorý šiel okolo sa ho opýtal, koľko má oviec. Pastier odpovedal: Keby som ich postavil do dvojradu, trojradu, štvorradu, päťradu, šesťradu, zostala by mi vždy jedna ovca. Ak ich však postavím do sedemradu, bude ich akurát. Koľko mal pastier oviec?

4.)

Predstavte si, že píšete čísla od 1 za sebou tak, ako nasledujú:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15...
Ktorá cifra stojí na tisícom mieste? Ako to zistíte?

5.)

Druhú mocninu ľubovoľného dvojciferného čísla možno vypočítať aj takto:
48² = 50.46 + 2² = 2304
54² = 58.50 + 4² = 2916 atď.
Odôvodnite a vyslovte pravidlo.

1.)

Bolo potrebné vziať štyri topánky a tri ponožky. Medzi štyrmi topánkami musia byť aspoň dve toho istého tvaru, lebo celkový počet párov je tri. Keďže ponožky boli len z dvoch druhov, bolo treba vziať len tri. Z dvoch mohla byť napr. jedna šedá a jedna hnedá. Tretia však musí byť buď šedá alebo hnedá, a tým dostaneme pár rovnakej farby.

2.)

Úloha sa dá dobre rozriešiť jednoduchým úsudkom. Pravdepodobne bude najlepšie začať riešenie slovkom ALL. Veľmi pomôže aj krátke slovo TO, ktoré musí byť tiež druhou mocninou. Aj slovo MERRY so svojimi RR pomôže. Úloha má dve riešenia:

34225 7396 81 900, 27556 3249 81 400

3.)

Ak by nezostala ani jedna ovca v 2, 3, 4, 5, a 6-rade, išlo by o spoločný násobok týchto čísel. Teda N(2,3,4,5,6) = 60. Ďalšie násobky sú 60, 120, 180, 240, 300,... My hľadáme medzi číslami 61, 121, 181, 241, 301,...číslo deliteľné siedmimi. Našej úlohe vyhovuje číslo 301.

4.)

Máme 9 jednociferných čísel ... zaberajú 9 miest

Máme 90 dvojciferných čísel ... zaberajú 180 miest

Zvyšné trojciferné čísla nám musia teda zabrať ešte 811 miest. (9 + 180 + 811 = 1 000).

811 = 810 + 1

810 miest : 3 ciferné = 270 čísel musí byť trojciferných. Teda 99 + 270 = 369. Posledným ukončeným číslom je číslo 369. Za ním by nasledovalo číslo 370, z ktorého prvá cifra 3 stojí práve na tisícom mieste.

5.)

Výpočet sa robí podľa vzorca: (a + b) (a – b) = a² – b²

Z čoho                                       a² = (a + b) (a – b) + b²

Teda                                         (48 + 2) (48 – 2) = 48² – 2²

A z toho                                    48² = (48 + 2) (48 – 2) + 2² = 50.46 + 4